Сервис поиска текстовых документов

Теорема ферма простыми словами

Дата публикации: 26.05.2019

теорема ферма

Понятие о великой теореме Ферма

Великая теорема Ферма. Уравнение xn+yn=zn не имеет решений в натуральных числах, если n>2.

Эта теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году и доказана Эндрю Уайлсом в 1994. Сам Ферма опубликовал решение для частного случая n=4, которое мы и решим.

Рассмотрим уравнение x4+y4=z2 и докажем, что оно не имеет натуральных решений (отсюда будет следовать и теорема Ферма для n=4).

Запишем уравнение в виде (x2)2+(y2)2=z2. Это пифагорова тройка.

  1. Почему можно предполагать, что x, y, z попарно взаимно простые?

Мы можем полагать x2=u2-v2, y2=2uv, z=u2+v2 (почему?). Но тогда и (x, v, u) – пифагорова тройка.

  1. Докажите, что x, v, u попарно взаимно просты.
  2. Какие числа из тройки (x, v, u) чётны, а какие нет?

Аналогично полагаем x=u12-v12, v=2u1v1, u=u12+v12.

  1. Докажите, что u1 и v1 взаимно просты.
  2. Вспомните, что y2=2uv. Получите из этого, что u – точный квадрат, т.е. u=z12.
  3. Продолжайте помнить, что y2=2uv. Выведите отсюда, что u1 и v1 тоже являются точными квадратами, т.е. u1=x12, v1=y12.
  4. Подставьте всё-всё-всё, что у вас есть, и получите равенство x14+y14=z12.
  5. И где тут противоречие? Почему исходное уравнение не имело решений?

 

Домашнее задание

Докажите, что уравнение x2+y2=7(z2+t2) не имеет решений в целых числах.